Pembuktian ini menggunakan lema Euclid (Elements VII, 30): jika satu nombor perdana p membahagi hasil darab dua nombor asli a dan b, maka sama ada p membahagi a atau p membahagi b (atau kedua-duanya).

Kewujudan

Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan n. Jika n adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer a dan b, di mana n = ab, dan 1 < a ≤ b < n. Melalui hipotesis aruhan, a = p1p2...pj dan b = q1q2...qk adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini n = ab = p1p2...pjq1q2...qk adalah hasil darab nombor-nombor perdana.

Keunikan

Andaikan yang s > 1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:

s = p 1 p 2 ⋯ p m = q 1 q 2 ⋯ q n . {\displaystyle {\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}

Kita perlu tunjukkan bahawa m = n dan qj adalah susunan semula pi.

Mengikut lema Euclid, p1 pasti membahagi salah satu daripada qj; labelkan semula qj jika perlu, katakanlah yang p1 membahagi q1. Tetapi q1 adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, p1 = q1, lantas

s p 1 = p 2 ⋯ p m = q 2 ⋯ q n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}}}&=p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}

Menggunakan taakulan yang sama, p2 pasti sama dengan salah satu daripada qj yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah p2 = q2. Kemudian

s p 1 p 2 = p 3 ⋯ p m = q 3 ⋯ q n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}p_{2}}}&=p_{3}\cdots p_{m}\\&=q_{3}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}

Ini boleh dilakukan untuk setiap satu pi m, menunjukkan bahawa m ≤ n dan setiap pi ialah qj. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan p {\displaystyle p} dan q {\displaystyle q} diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa n ≤ m (oleh itu m = n) dan setiap qj ialah pi.